20世纪物理学的进步一度得益于数学工具的应用，而数学一直在一个人前行。直到20世纪后半叶，弦论直接推进了数学的进步，数学与物理学齐头并进，就像回到了科学的早期年代。无人否定数学能作为物理学进步的基础，但反过来，为何物理学也能创造新数学？秘诀可能在现实世界。

撰文 | Ananyo Bhattacharya

翻译 | 1/137

图片来源：图虫创意

长期以来，数学一直是物理学进步的基础。1915年，当爱因斯坦发现，半个多世纪以来的纯粹数学工作完美地描述了他的引力理论中的时空结构时，他赞许广义相对论是数学的“真的胜利”。他后来惊叹，在没任何应用考虑的状况下构想出的数学，如何会“这样让人钦佩地合适现实对象”[1]呢？

如今，将数学服务于物理学一般被觉得是理所当然的，这根植于它的由来。毕竟，数学是为了测量、量化和理解物理世界而创造的。在美索不达米亚，苏美尔人进步了一种计数系统，留下了刻有乘法表的泥板。他们的目的是什么？用于清点货品和财产。在随后的几千年里，刚开始作为润滑政府和商业运转的工具，最后有了我们的生命。尽管数学扩展到了这样晦涩的抽象范围，以至于只有历经多年的练习才能学会，但数学仍继续构成物理学的伟大突破的基础。

不过，近期形势发生了转变。目前，来自物理学的洞见和直觉出人意料地引领了数学的突破。在20世纪的大多数时间里，数学家们都在走我们的路，目前他们愈加多地从自然界的规律和模式中寻求想法。停滞了几十年的范围正待后生。甚至哲学家们也开始深入研究，正如一位哲学家大胆指明的那样，为何物理学在数学中被证明是“没来由的奏效”。这个问题的重点在于，支配宇宙行为的规则与人类思维最抽象的沉思之间，存在非常大程度上未被理解的、让人困惑的和深刻的联系。

为何物理学——根植于理解诸如苹果和电子这种世界上的真实事物——能为解决数学中一些最棘手的问题提供这样有效的线索？这类问题涉及不可捉摸的东西，譬如函数和方程。

“相比数学家，物理学家不大关心严格的证明，”法兰西学院（Collège de France）的数学家、菲尔兹奖得主蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）说。他表示，有时这一点“让物理学家比数学家更快地探索数学范围”。假如数学家倾向于深入地调查这片风景的一小块土地，那样物理学家更大概迅速地掠过这一非常大程度上是未知的大片地区。从这个角度来看，物理学家可以意料之外发现新的、强有力的数学定义和关联，数学家则可以折回到这类定义和关联，试着证明（或反驳）它们。

物理学给数学提供的养分

事实上，物理学激起数学的进程与科学本身一样古老。古希腊数学家和创造家阿基米德描述了力学定律怎么样激起了他的一些非常重要的数学发现。还有牛顿，他与他同年代的德国博学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）在试图理解下落物体的运动时，进步了一种全新的数学——微积分。

但在20世纪中叶，从物理学流淌来的新数学几乎枯竭了。物理学家和数学家都对他们那边发生的事情不太有兴趣。在数学界，一群有影响力的年轻法国数学家，称为布尔巴基（Bourbaki）学派，试图使数学尽量精准。他们努力从头开始重建整个范围，并将合作成就发表出来，以期促进将来的数学发现。同时，物理学家们开心地进步着开创性的想法，比如标准模型（Standard Model）——到了现在仍然是物理学家关于原子和亚原子世界的最好理论。对他们中的很多人来讲，数学只不过一个便捷的工具，他们对布尔巴基学派所主张的严肃的数学愿景不有兴趣。

然而，在已经过世的黎巴嫩裔英国几何学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）的带领下，双方正在进行一场和解。凭着罕见的直觉，再加上一点运势，同样是菲尔兹奖得主的阿蒂亚，常常能注意到后来理论物理学家有兴趣的范围。

“在1970年代中期，他开始相信理论物理学是迄今为止最有期望的新思想来源，”与阿蒂亚合作的牛津大学荣休教授、数学家尼格尔·希钦（Nigel Hitchin）在 2020年写道。“从那时起，他就成为数学家和物理学家之间互动的促进者，应付物理学家提出的数学挑战，借助物理学思想证明纯粹数学结果，并为物理学家提供他觉得要紧但对他们来讲不熟知的现代数学内容。”

数学习物理学家爱德华·威滕（Edward Witten）是阿蒂亚的长期合作者之一，他们于1977年初次见面。比阿蒂亚小20多岁的威滕后来成为弦论的先驱，弦论觉得微小的一维振动的弦是宇宙的基本组成部分，而不是标准模型中的那些粒子。

弦论刚开始被誉为一种可能的“万物理论”，将会统一量子理论与爱因斯坦的引力理论，但迄今为止，可以说，弦论对数学中一些最抽象的范围——诸如代数几何和微分拓扑——的影响比在物理学中的更大。在这类范围，威滕和其他弦论家已经可以提出数学家后来才证明的精准猜想。

比如，在1991年，物理学家坎德拉斯（Philip Candelas）、奥萨（Xenia de la Ossa）和他们的同事将弦论应用于枚举几何（Enumerative geometry）中一个已有数十年历史的难点。枚举几何是一个古老的数学分支，致力于计算几何问题的解的数目。最简单的问题譬如，“有多少条线可以穿过一个平面上的两点？”（1条）；或者阿波罗尼乌斯（Apollonius）的著名问题，“可以画出多少个与三个给定的圆相切的圆？”（8个）

坎德拉斯与合作者可以用弦理论中的工具来解决枚举几何中一个特别棘手的问题：计算卡拉比—丘（Calabi-Yau）流形中特定种类曲线的数目，这类奇怪的六维形状是弦论的核心。他们的结果将两种几何学联系起来，即“辛几何”和“复几何”，数学家们几十年来一直孤立地研究这两种几何，觉得它们无关。这种进步——将两个被觉得无关的范围联系起来——在数学中被觉得是一个“深刻”结果：你忽然可以用一个范围的工具来解决另一个范围的问题，从而推进并加快了数学的进步。

棘手问题：物理学家菲利普·坎德拉斯与合作者用弦论的工具解决了枚举几何中的一个棘手问题：计算卡拉比—丘流形（如图所示）中特定类型的曲线的数目。这类奇怪的六维形状是弦论的核心。丨图源：Wikimedia Commons

仅仅几年后，即1995年，威滕提出了五个不同版本的弦论，每一个版本都需要10维，都是他称之为“M理论”的单个11维定义化的不同方面。尽管M理论仍未得到证实，但绘制不同理论之间的对应关系已经致使了惊人的数学发现。“感觉就像每一个月弦论都在以前所未有些方法为数学家提供新的结构，”伦敦数学科学研究所的数学习物理学家何杨辉（Yang-Hui He）说。

弦论是两个数学世界之间那种意料之外的关系或“对偶性”（duality）的丰富来源，到今天仍让数学家开心不已。何杨辉和他的合作者、同样来自伦敦研究所的弦论家弗里德里克·卡塔（Federico Carta）在研究最简单的卡拉比—丘流形种类（K3曲面）时，偶然发现了表面的“同伦群”（homoTOPy group，在拓扑学中用于对形状进行分类），与一种称为“Mathieu 24”的对称群之间的关系。两人的发现揭示了纯数学中两个不同范围之间意料之外的联系——拓扑学、形状研究与现代代数中一个称为群论的范围，该范围涉及物体所具备的对称种类。

何杨辉谈到，为何物理掌握产生这样有趣的数学，这是一个“深奥的问题”。存在无数种模式和结构可供数学家加以研究，“但那些来自现实的（模式和结构）是大家在某种程度上有直觉的。”

希钦表示赞同。“数学研究不是凭空产生的，”他说。“你不可以为创造一个新理论而创造。你需要相信那里有一些东西需要调查。新的想法需要围绕着一些现实的观念，或者或许是某人的观念。”

这就带来一个问题，即物理学是不是仅仅通过提供更强烈的探索动机和数学家精力的焦点来滋养数学。在关于世界应该怎么样运作的直觉和看上去适当的终点的引导下，数学家有时可以在某个问题上获得比其他状况更快的进展。

它还可以讲解一个奇怪的事实：“糟糕的”物理学有时可以带来好的数学。

比如，涡旋（vortex）理论是英国数学习物理学家威廉·汤姆森（William Thomson），即开尔文勋爵的早期尝试，旨在讲解为何原子的类型相对较少。他将原子想象成旋转的环，可以打成错综复杂的结，每一个结对应不一样的化学元素。在发现电子后，该理论被抛弃了——但其数学致使了纽结（knot）理论的进步。此后，纽结理论成为纯数学家探索的沃土，并在流体动力学和理解像DNA这种缠结分子方面发现了让人惊讶的应用。

宇宙是数学构成的？

对阿蒂亚来讲，物理学和数学之间的神秘关系都归结为人脑。“人类是长期进化的产物，其中强大的大脑是一个优势。如此的大脑是在物理世界中进化而来的，因此进化的成功是通过生理的成功来衡量的，”他在 2018 年的一次采访中讲解说。“因此，人类大脑进化来解决物理问题，这需要大脑进步正确的数学。”要做到这一点，大脑还需要适应辨别和赏析自然界中的数学模式。阿蒂亚甚至在 2014年进行了一项大脑成像的合作研究，该研究得出结论，对于数学之美的体验与优美的音乐、艺术或诗歌一样，它们激起大脑的相同部分。这或许可以讲解为何物理学可以成为数学家的指路明灯：从研究日常产生的那种数学总是是大家的大脑喜欢的那种。

2010年，在与希钦和当时在普林斯顿大学工作的荷兰理论物理学家罗伯特·迪格拉夫（Robbert Dijkgraaf）合著的一篇论文[2]中，阿蒂亚进一步强调了物理学在数学中的成功应用。然而，从那时起，试图理解这种现象的工作就极少了。

近期重新审视这个问题是一位哲学家，博洛尼亚大学的丹尼尔·莫利尼尼（Daniele Molinini）。2023年他发表在《英国科学哲学杂志》（The British Journal for the Philosophy of Science）上的论文[3]，回话了诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳（Eugene Wigner）于1960年写作的一篇常常被引用的文章，即《数学在自然科学中不适当的有效性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences）。然而莫利尼尼出言无忌地回话则是探讨“物理学在数学中的不适当的有效性”（The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics）。他给出一个让人惊讶的回答，一些物理定律可能像数学定理一样无可争议。他说：“大家需要将关于现实世界的一些原则视为基本原理。”

哲学家们常见赞同数学真理成为一种“势必”，由于它们需要在所大概的世界中都是正确的。而对于自然的真理，经验事实，则是不一样的——它们依状况而定。光以恒定的速度传播，但可以说在一个不一样的宇宙中，它可能并不是这样。也就是说，无论怎么样，数学真理在过去和以后都是正确的。

是不是存在某些物理定律也以同样的方法成为“势必”？在他的论文中，莫利尼尼觉得守恒定律可能就是如此的一条定律。在物理学中，系统的某些属性，比如能量或动量，不发生改变。比如，一个骑自行车的人从山上自由滑行而下，将她的重力势能转化为动能，但她和她的自行车所拥有些总能量维持不变。

莫利尼尼觉得，假如这种守恒是“势必产物”，那或许可以讲解阿基米德为什么能通过力学的考虑成功判断出几何证明的真理性，不然很难讲解这一壮举。在这样的情况下，物理学和数学是同一枚硬币的两面：两者都是正确的，由于它们都遵循相同的基本原理。

另一种著名的看法则是伽利略在17世纪初表述的，并常常遭到数学家的拥护，即宇宙是用数学语言写成的。这个想法有着古老的由来，至少可以追溯到毕达哥拉斯和他的追随者，但一个更晚近和极端的版本是马克斯·泰格马克（Max Tegmark）的数学宇宙假说（mathematical universe hypothesis）——宇宙本身不只由数学描述，而且是由数学构成的。

在泰格马克的论述中，大家的宇宙只不过无数个平行宇宙中的一个，数学的所有无限可能性——每个定理、每个证明——都在这个多重宇宙的某个地方达成了。这也难怪物理学激起了数学的新发现——物理学所描述的现实，无论怎么样，归根结底都是数学的。“实证科学和数学之间存在着密切的联系，”悉尼大学研究数学和物理学之间关系的哲学家马克·科利文（Mark Colyvan）说。“大家可以得出的一个结论是，不知何故，世界本身即数学。”

然而，在这两种表述中，从物理学产生的数学应该非比一般的丰富。可是已知物理学产生的数学只不过所有数学的一小部分（几乎所有数学可能都没那样有趣）。宇宙完全由数学构成并不可以讲解这个问题。

莫利尼尼正在对一种时尚的数学适用性的哲学阐释发起挑战，即“映射”[4]（mapping），他觉得这种阐释没办法讲解为何好的数学可以从物理学中产生。映射理论觉得，通过将物理定义[如水平或间隔（separation）]转化为数学对象，比如牛顿万有引力定律的方程，可以用它来计算某些东西，然后将它映射回物理属性——两个物体间的吸引力。但莫利尼尼质疑说，当大家试图颠倒它来讲解数学是怎么样从物理学中出现的时，映射过程就失效了。

他说，哲学家们对这个问题的兴趣愈加大，他们一直关注为何数学可以应用于实证科学的反问题，即为何实证科学可以得到数学。

“现代物理学为数学家提供了一大堆新工具和意料之外的线索，”何杨辉说。“将来，物理学和数学将需要更紧密地合作，以解决纯数学中的一些最大问题。”

他表示，罗伯特·朗兰兹 （Robert Langlands） 在 1960 年代构思的朗兰兹纲领（Langlands program）就是如此一个范围，它一般被叫做“数学的大统一理论”。据称，该纲领的一个分支，即几何朗兰兹纲领（geometric Langlands），近期由一支数学家团队解决，他们提出的证明横跨五篇论文，长达800 页（编者注：可参阅《在监狱中萌生的数学大一统之愿景，离达成又近了一大步》）。该证明的核心基于刚开始从共形场论（conformal field theory）中得出的洞见，共形场论是物理学的一个分支，是弦论及其他范围的基石。何杨辉觉得，数学家需要借鉴更多的物理学来探索该证明的意思，并在朗兰兹纲领的其他方面获得进展。

同样，数学家们已经借助物理学来尝试在黎曼假设（Riemann hypothesis）和BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）问题上获得进展，它们是数学中两个最具挑战性的开放问题。何杨辉感觉，这两个范围间的结合将是最后解开这类宏伟命题的重点。

何杨辉说：“物理学和数学开始第三合二为一，就像它们在牛顿和高斯的年代一样。”他同意过理论物理学家的练习，但愈加倾向于将物理思想应用于纯数学问题。

这是个迷人的想法。宇宙的故事可以用数学的语言写成。但，尽管这个故事看着非常美好，但有迹象显示，要想比物理学家已经理解得更多，将需要愈加奇特和复杂的数学工具，而且有的工具备待被创造。打破这两个范围之间的壁垒可以为理解双方打开新世界。

Ananyo Bhattacharya 现任伦敦数学科学研究所首席科学作家。在从事新闻工作之前，Ananyo在加利福尼亚州圣地亚哥的伯纳姆研究所（Burnham Institute）担任医学研究员。他拥有牛津大学习物理学学位和伦敦帝国理工学院蛋白质晶体学博士学位。他曾在 Nature、Chemistry World 和 Research Fortnight 担任高级编辑、The Economist科学记者。著有冯·诺依曼 （John von Neumann） 的传记《来自将来的人》（The Man from the Future）。

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